Mathématiques

Les coniques jouissent de propriétés géométriques remarquables et interviennent dans de nombreux problèmes physiques, en particulier en cinématique (mouvement des planètes) et en optique géométrique (miroirs).

Aux fonctions trigonométriques connues depuis le lycée s’ajouteront les fonctions hyperboliques (qui sont à l’hyperbole équilatère ce que les fonctions trigonométriques sont au cercle unité) ainsi que leurs réciproques.

Pour calculer, par exemple, l’aire d’une parcelle, un agriculteur (ou un particulier) dispose soit des mesures effectuées sur le terrain, soit des mesures effectuées sur le plan cadastral. Il est rare que les hauteurs soient tracées, et il ne dispose donc que de la longueur des côtés et des diagonales de la parcelle.

Les fonctions de plusieurs variables sont bien évidemment importantes que ce soit en maths ou en physique. Un phénomène physique en particulier dépend souvent de plusieurs paramètres.

La formule de Taylor-Young permet d’approximer dans un voisinage d’un point donné, à la précision voulue, une fonction par un polynôme. Cette approximation, comme nous l’avons expliqué, sera d’un grand intérêt pour connaître localement le comportement d’une fonction.

À la fin du 19e siècle et au début du 20e siècle, les mathématiciens allemands étudient des espaces de fonctions et créent l’analyse fonctionnelle. Les espaces étudiés ont des structures d’espace vectoriel. 

Une suite numérique, est en fait, une liste indexée de nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc.

Pour faciliter la compréhension et l’interprétation directe des grandeurs analysées, l’on effectue généralement le rapport des différentes valeurs prises par la même grandeur, soit à deux dates données, ou soit sur deux espaces différents :

On parle d’indice statistique.

Il faut attendre le 19e siècle, pour que la notation matricielle sous forme de « rectangle (ou carré) de nombres » apparaisse. Gauss découvre le produit matriciel en dimension 3 et indique que la formule se généralise dans les autres dimensions mais sans détailler. Sylvester, le premier, dénomme ces rectangles de nombres du mot « matrix ».

On verra en particulier comment on peut utiliser les nombres complexes pour trouver les racines de certains polynômes à coefficients réels ou complexes, comment ils servent à résoudre des problèmes de géométrie plane ainsi que des problèmes d’analyse réelle comme celui de la primitivation de produits de fonctions trigonométriques ou la résolution d’équations trigonométriques.

Se familiariser avec les outils permettant d'analyser les phénomènes naturels qui dépendent d'un seul paramètre

Résoudre des équations différentielles d'ordre 1 et d'ordre 2

Donner un sens mathématique à la notion du hasard